Matematika je poželela da simulira život. I tako
je sedamdesetih godina prošlog veka nastala jedna sasvim drugačija
igra, nazvana Život (engl. The Game of Life).
Posebno je vole informatičari - smatra se najčešće kompjuterizovanom
igrom na svetu. Zahvaljujući svojoj kompleksnoj prirodi i
nepredvidivosti, i danas uspešno iznenađuje i zaokuplja istraživače.
Piše: Anja Šišarica Tvorac igre, jedna od glavnih zvezda Teorije brojeva, brilijantni Džon Konvej, nije imao nikakvih ambicija da imitira život. Naime, njegova namera bila je daleko od matematičke igre – pokušao je da stvori
univerzalni sistem, odnosno univerzalnu Tjuringovu mašinu, što možemo zamisliti kao samoprogramirajući kompjuter koji će beskonačno dugo da radi. Konvej je bio inspirisan radom fon Nojmana, pionira iz oblasti ćelijskih automata,
koji je pedesetih godina uspeo da definiše jedan univerzalni sistem,
upravo pomoću ćelijskog automata u dvodimenzionalnoj ravni, gde stanje
ćelija u trenutku
t+1 zavisi samo od stanja komšijskih ćelija u trenutku
t.
Međutim, nevolja je bila u tome što taj sistem nije bio baš
najelegantnije realizovan. Šta više, bio je nepodnošljivo nezgrapan, sa
svojih čak 29 stanja. Kako fon Nojmanov pronalazak objašnjava sam
Konvej: «
Ako je želeo da realizuje određenu osobinu, kao na primer
mogućnost razmene poruka, dodao bi još nekoliko stanja i dobio bi je.
Kada bi poželeo drugu osobinu, dodao bi još nekoliko stanja... i tako
ih je na kraju bilo 29. I kad onda uzmete da čitate dodatak njegovog
rada, vidite jednu jako dugačku listu tabela koje opisuju funkcije
prelaska... Kakav haos!».
Dakle, Konvej je težio ka «
spektakularno jednostavnom»
univerzalnom sistemu. Upravo suprotno od Fon Nojmanovog pristupa -
eksplicitnog forsiranja sistema da se ponaša na željeni način - verovao
je da je bolje izabrati neki sistem sa prikladnim ponašanjem, za koji
postoji osnovana mogućnost da postane univerzalan, i onda pustiti
sistem da živi; a vremenom se može naučiti kako se sistem programira i
kako ga naterati da obavlja arbitrarne proračune – što je uslov da bi
postao univerzalna Tjuringova mašina. «
Na primer, uzmimo mnogo nekih elektronskih uređaja i povežimo ih na slučajan način u jednom skladištu. Tako
ćete verovatno dobiti jedan univerzalni sistem. Stisnete neko dugme i
vidite da se pali crvna lampica. Malo razmišljate, malo pokušavate, i
ubrzo ćete razumeti kako određene akcije imaju određene rezultate... I
uskoto ćete uspeti da pronađete način da saberete dva broja. Pritisnete
jedno dugme 5 puta, onda uradite nešto drugo, pa opet pritisnete dugme
još 8 puta, i na nekom izlazu dobijete 13. I ako je soba dovoljno
velika, i ponašanje mašina dovoljno zanimljivo, postepeno ćete učiti da
naterate sistem da radi šta god poželite. I to je sjajno. Pitanje je,
koliko malo može da bude skladište, koliko jednostavno možete da
napravite veze između mašina...», Konvej slikovito predstavlja svoju ideju.
Međutim,
Život nije ispao tako jednostavan kao što je Konvej zamišljao, ali bila je to, kako kaže, «
prijatna propast». Da bi nam to bilo jasnije, pogledajmo konačno pravila ove igre:
 |
| Slikovito predstavljen ćelijski automat – Konvejevo skladište |
PRAVILA IGRE
Život
se igra na beskonačnoj kvadratnoj tabli, čija polja – ćelije, mogu biti
žive (zauzeta polja) ili mrtve (prazna polja). Nema igrača, pa samim
tim niko ne pobeđuje i niko ne gubi. Zadaje se inicijalni raspored
živih ćelija, a igra napreduje kroz generacije ćelija, kako se
primenjuju sledeća pravila života i smrti:
· Ćelija preživljava do iduće generacije ako ima dve ili tri komšijske ćelije.
· Ćelija umire u idućoj generaciji ako ima četiri ili više suseda (prenaseljavanje) ili ako je ostala sa samo jednim susedom (usamljenost).
· Mrtva ćelija oživljava u sledećoj generaciji ako dobije tačno tri suseda (rođenje). |
Ironično,
s jedne strane se fon Nojmanov automat može smatrati jednostavnijim jer
stanje ćelije zavisi od četiri suseda, a ne od osam, kao u
Životu.
Kako je Konvej tragao za sistemom koji je «zapanjujuće jednostavan»,
želeo je da umanji kompleksnost time što bi rešenje radilo u jednoj
dimenziji, za razliku od Fon Nojmanove ideje o dvodimenzionalnoj ravni,
gde se u trenutku
t vodi računa o poziciji
(x,y). Međutim, to se posle mnogih pokušaja ispostavilo nemogućim, te je od toga Konvej naposletku odustao.
Sledeći težak korak bio je odabir prikladnog dvodimenzionalnog sistema
za proučavanje. Problem je u tome što su takvi sistemi beskonačne
prirode, a analiza zahteva jedan ograničeni deo ravni. Konvej i njegovi
saradnici su za svoj objekat istraživanja uzeli tablu za igru Go. Zanimljivo je da je paralelno sa radom na
Životu, Go inspirisao Konveja na, po njegovim rečima, «otkriće na koje je najponosniji» - nadrealne brojeve; koji su izazvali pravu revoluciju u matematici (Donald Knut ih sjajno uvodi u eseju
Surreal Numbers : How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness).
Ali vratimo se sada ovoj priči. Da populacije ne bi «eksplodirale»,
jasno, bilo je potrebno izmisliti neko pravilo smrti. Slično, i jednako
važno, da bi populacija nastavila da živi kroz generacije, izmišljeno
je pravilo rođenja. «
Probali smo razna pravila, proučavali njihove
efekte i posmatrali šta će da se desi. Pitanje se samo nametnulo, kako
da postavimo relativni odnos snaga između rođenja i smrti, tako da za
tipičnu populaciju postoji dobra verovatnoća da neće izumreti niti se
linearno širiti.» Odnosno, da bude dovoljno interesantan da izraste u univerzalni sistem, a i dovoljno stabilan da nastavi da živi.
Posle dve godine napornih pauza za kafu, dali su oglas Posle
dve godine napornih pauza za kafu, Konvej i njegov tim konačno su došli
do goreopisanog skupa pravila. To su shvatili kada su primetili da neke
populacije vremenom obrazuju takozvane
«klizače»,
odnosno entitete koji kroz svoju evoluciju kroz generacije «šetaju» po
čitavoj ravni. Ovo je bio prvi znak uspeha i veliko ohrabrenje, jer da
bi se napravio univerzalni sistem, tj. da bi se omogućili arbitrarni
proračuni potrebno je obezbediti razmenu informacije preko ravni, a
«klizači» su im upravo to pružili. «
Kada su se pojavile ove
strukture, odmah smo prestali da eksperimentišemo sa ostalim pravilima,
jer je postalo jasno da je to ono što smo čekali. Ponašalo se baš onako
kako smo želeli, i seli smo da dokazujemo da radi», kaže Konvej.
Za samo nekoliko nedelja, tim je napravio skoro sve konfiguracije koje
bi omogućile arbitrarne proračune: AND, OR i sve ostale logičke
komponente koje imaju računari; međutim, nikako nisu mogli da nađu
rešenje za inicijalni skup «klizača», tzv.
«pištolj»,
koji bi sve pokrenuo na odgovarajući način, kao dugme za paljenje, i
potom nastavio kontrolisano beskonačno da se razmnožava. «
Rešio sam da dam oglas», priča kasnije Konvej.
Obratio se svom prijatelju Martinu Gardneru, predlažući
Život za njegovu kolumnu o Matematičkim igrama u časopisu
Scientific American,
i nagradu od $50 za onoga ko uspe da napravi «pištolj». To je bilo u
aprilu 1970. godine, a članak se pojavio u broju 223 pod naslovom
«The fantastic combinations of John Conway's new solitaire game Life».
 |
| Gosperov «pištolj» |
Vest
je odjeknula i pobudila maštu naučne zajednice, i ubrzo potom grupa sa
MIT-a, predvođena Bilom Gosperom nalazi rešenje. Samo dve nedelje
kasnije Konvej i njegov tim i grupa sa MIT-a dokazuju da sa određenom
postavkom ćelija
Život radi kao univerzalna Tjuringova mašina. Pobeda!
Vojska se ljuti, a svet se zabavlja Još od svog prvog pojavljivanja u Gardnerovoj kolumni,
Život je izazvao veliko interesovanje javnosti. Način na koji Život imitira život, iako mu to nije bio cilj, zaintrigirao je mnoge.
Već iste godine igra je prvi put programirana, za računar PDP-7.
Američka vojska je u jednom trenutku negodovala zbog količine
kompjuterskih resursa koji se «troše uzalud» gledanjem ove igre. A
Život se i danas igra. Na Internetu se može pronaći na hiljade
freesoftware programa koji nam nude
Život kao zabavu; neki od najpoznatijih su Golly, Life32, Xlife,
koji podržavaju neke od brojnih algoritama dizajniranih za ovu igru
(kao što je npr. Hashlife). Za unutrašnju reprezentaciju ćelija
najčešće se koriste egzotične strukture podataka poput dinamičnih
torusnih nizova – jer kompjuter je sa svojom memorijom konačan, a igra
je beskonačna.
 |
| «Klovn», nastaje posle 110 iteracija nad oblikom obrnutog slova U od 7 ćelija |
Životje inspirisao ljude da naprave i neke nove matematičke igre, kao što je
na primer ova: Igraju dva igrača i svaki od njih ima svoju boju. Igra
se na tabli, kao za
Život (samo što je u ovom slučaju to
neosporno konačna ravan). Žive ćelije su u boji, i na početku se
ravnomerno rasporedi broj živih ćelija za svakog igrača po slučajnom
paternu.
Potez se sastoji iz toga što igrač stavlja jednu
svoju živu, i ubija jednu protivničku ćeliju. Ćelija oživljava kada ima
tačno tri suseda, a biće one boje koja među tim susedima preovlađuje.
Igrač pobeđuje kada izumru sve protivničke
Prijem 
